Вектор два


О компании - Вектор 2

(более 10 лет на рынке полиграфии)

Опытные менеджеры

ответят на все вопросы, посчитают заказ, решат самые сложные и неординарные задачи, сориентируют по срокам подскажут, как лучше выполнить ваш заказ, проконтролируют ваш заказ на всех этапах: от принятия - до сдачи

Дизайн-студия

отрисуют и сверстают макеты, подготовят их к печати, выполнят любые пожелания по оформлению ваших макетов

Бухгалтерия

проверят договоры, решат вопросы по оплате, сделают и переделают закрывающие документы, подскажут, как правильно оформить документы

Производство

напечатают ваш заказ, порежут, сделают предпечатную и постпечатную подготовку, соберут, наклеют и т.д. возможна выездная форма работы

Курьер

мы поможем привезти ваш товар в указанное место, либо отправить его транспортной компанией или почтой России

Отдел развития и продвижения

мы очень рады новым идеям и новым направлениям для развития

Надежные подрядчики

так как мы работаем более 10-ти лет, то у нашей фирмы много надежных поставщиков и других фирм, готовых нам помочь

Оборудование

мы печатаем на своем оборудовании поэтому и цены у нас невысокие

Госзаказы

мы работаем с госзаказчиками. У нас есть ЭЦП, работаем с любыми контрактами и по разным системам оплат

Сувенирная продукция

наши менеджеры могут подобрать вам сувенирную продукцию под нанесение

На сегодняшний день разнообразная полиграфическая продукция является основой самых успешных рекламных компаний и доступным способом громко и образно заявить о себе. Однако справиться с этой сложной задачей может только качественная продукция — отпечатанная на надёжном оборудовании с применением современных красителей и других расходных материалов.

Если именно такая сувенирная или печатная продукция Вам и нужна, то специалисты Санкт-Петербургской типографии ««Вектор Два» будут рады Вам помочь! Наша типография в СПб — бесспорный лидер на рынке!

Оказание полиграфических услуг — это основное направление нашей деятельности, к которому мы относимся со всей ответственностью и профессионализмом. В нашей компании трудятся опытные специалисты, имеющие профильное образование, благодаря чему даже самые сложные задачи нам удаётся решать грамотно и быстро.

Обращение в «Вектор Два», одну из лучших типографий в СПб, — это сотрудничество с мастерами своего дела.

 

Сегодня мы предлагаем вниманию гостей и жителей Северной столицы весь спектр современных полиграфических услуг, а именно:

Офсетную печать

Включающую в себя изготовление флаеров, листовок, буклетов, визиток, каталогов, брошюр, журналов, пакетов, календарей, бланков и т. д.

Шелкографию

Наносится практически на любые поверхности, будь то бумага, картон или даже полиэтилен. Таким образом, при помощи шелкографии можно выполнить печать на папках-уголках, украсить открытки, визитки, фирменные бланки, полиэтиленовые и бумажные пакеты и многое другое. В нашей типографии в СПб Вы можете сделать заказ на изготовление тиража фирменной продукции любой численности.

Печать по текстилю

Изображение наносится на куртки-ветровки, бейсболки, толстовки, футболки, зонты, банданы, жилетки и т. д.

Цифровую печать

Выпускаем буклеты, евро-буклеты, бланки, флаерсы, листовки, приглашения, визитки, гостевые карточки и дипломы малыми тиражами, меню для кафе и ресторанов.

Тампопечать

Производим печать на кружках, ручках, флешках, зажигалках, пепельницах, карандашах и др.

Разработку макетов и дизайн продукции

Наши специалисты с огромным удовольствием займутся разработкой фирменного стиля для Вашей компании, дизайном наружной рекламы и т. д.

Плоттерную резку

Резка виниловой плёнки — это современная технология, позволяющая точно воспроизвести компьютерное векторное изображение на имеющем подложку самоклеящемся материале (широкоформатные вывески, таблички, стикеры на стекло, изготовление наклеек на машины и т. д.).

Стоимость полиграфических услуг в нашей компании вполне доступна, при этом мы располагаем собственными высокотехнологичными производственными мощностями и предлагаем каждому Клиенту индивидуальный расчет заказа и возможность оформить заявку по почте без посещения офиса нашей компании.

 

vektordva.spb.ru

Vector2 - структура (System.Numerics)

  ИмяОписаниеAbs Возвращает вектор, элементы которого являются абсолютными значениями каждого из элементов заданного вектора. Add Складывает два вектора. Clamp Ограничивает минимальное и максимальное значение вектора. CopyTo(array<Single>[]()[][]) Копирует элементы вектора в заданный массив. CopyTo(array<Single>[]()[][], Int32) Копирует элементы вектора в заданный массив, начиная с указанной позиции индекса. Distance Вычисляет евклидово расстояние между двумя заданными точками. DistanceSquared Возвращает квадрат евклидова расстояния между двумя заданными точками. Divide(Vector2, Vector2) Делит первый вектор на второй. Divide(Vector2, Single) Делит заданный вектор на указанное скалярное значение. Dot Возвращает скалярное произведение двух векторов. Equals(Object) Возвращает значение, указывающее, равен ли данный экземпляр указанному объекту. (Переопределяет ValueType..::..Equals(Object).)Equals(Vector2) Возвращает значение, указывающее, равен ли данный экземпляр другому вектору. GetHashCode Возвращает хэш-код данного экземпляра. (Переопределяет ValueType..::..GetHashCode()()()().)GetTypeВозвращает объект Type для текущего экземпляра. (Унаследовано от Object.)Length Возвращает длину вектора. LengthSquared Возвращает длину вектора в квадрате. Lerp Выполняет линейную интерполяцию между двумя векторами на основе заданного взвешивания. Max Возвращает вектор, элементы которого являются максимальными значениями каждой пары элементов в двух заданных векторах. Min Возвращает вектор, элементы которого являются минимальными значениями каждой пары элементов в двух заданных векторах. Multiply(Single, Vector2) Умножает скалярное значение на заданный вектор. Multiply(Vector2, Vector2) Перемножает два вектора. Multiply(Vector2, Single) Умножает вектор на заданный скаляр. Negate Преобразует заданный вектор в отрицательный. Normalize Возвращает вектор с тем же направлением, что и заданный вектор, но с длиной равной единице. Reflect Возвращает отражение вектора от поверхности, которая имеет заданную нормаль. SquareRoot Возвращает вектор, элементы которого являются квадратным корнем каждого из элементов заданного вектора. Subtract Вычитает второй вектор из первого. ToString()()()() Возвращает строковое представление текущего экземпляра, используя форматирование по умолчанию. (Переопределяет ValueType..::..ToString()()()().)ToString(String) Возвращает строковое представление текущего экземпляра, используя заданную строку форматирования для форматирования отдельных элементов. ToString(String, IFormatProvider) Возвращает строковое представление текущего экземпляра, используя заданную строку форматирования для форматирования отдельных элементов и заданный поставщик формата для указания форматирования, определяемого языком и региональными параметрами. Transform(Vector2, Matrix3x2) Преобразует вектор посредством заданной матрицы 3x2. Transform(Vector2, Matrix4x4) Преобразует вектор посредством заданной матрицы 4x4. Transform(Vector2, Quaternion) Преобразует вектор посредством заданного значения поворота кватерниона. TransformNormal(Vector2, Matrix3x2) Преобразует нормаль вектора посредством заданной матрицы 3x2. TransformNormal(Vector2, Matrix4x4) Преобразует нормаль вектора посредством заданной матрицы 4x4.

msdn.microsoft.com

Скачать Vector 2 бесплатно на компьютер Windows 7, 8, 10

Описание игры

Vector 2 – это динамичная аркада от разработчика NEKKI, смысл которой заключается в том же самом, как и в первой части. Игроку предстоит бегом преодолевать различные локации, осваивая новые прыжки и приемы. Приложение рассчитано на мобильные устройства, но можно скачать игру Вектор 2 на компьютер.

Устанавливаем Vector 2 на ПК через эмулятор

Игровое действие разворачивается в суровом тоталитарном мире, где каждый человек подчиняется единой системе, способной управлять чужим разумом. Нашего персонажа использовали в качестве подопытной крысы в бесчеловечных экспериментах. Теперь ему приходится бежать, преодолевая бесконечные уровни лабораторного комплекса, чтобы спасти свою жизнь. У него нет никаких суперсил, но зато есть ловкость и бесконечное желание выжить.

Геймплей

Сюжет игры такой же, как и в первой части – о человеке, который не выдержал давления системы и решил сбежать от нее. Игроку предстоит преодолевать множество локаций, попадать в ловушки, улучшать свое снаряжение – пройти игру не так-то просто. Каждая локация отличается своими особенностями: где-то много опаснейших ловушек, где-то придется ползать по стенам, а где-то перепрыгивать огромные пропасти. Все это возможно пройти с помощью быстрой реакции и определенного снаряжения вместе с апгрейдами.

В первой части все началось с того, что офисный работник не выдержал напряжения и выпрыгнул прямо в окно, сбежать подальше от системы. Однако во второй части все не так просто: наш персонаж приходит в себя в лаборатории, научном центре тоталитарного режима страны, здесь регулярно ставятся опыты над людьми. Герою нужно помочь сбежать из этого лабораторного комплекса, причем как можно быстрее: его исчезновение уже заметили.

По сравнению с первой частью, в игре появилось множество вариантов экипировки, напрямую влияющей на игровой процесс. Шлем защитит игрока от урона в случае попадания в ловушку, а специальные перчатки позволят открыть защищенные двери, через которые можно срезать путь. Жилет помогает уменьшить урон от лазера, а укрепленные сапоги сохранят герою жизнь после попадания на мину. Если персонаж умрет, то уровень придется начинать сначала.

Снаряжение приобретается на заработанные очки и монеты после прохождения каждого уровня. Некоторые уровни без специальной экипировки пройти невозможно, поэтому попадающиеся монеты на уровне следует собирать.

Количество уровней в игре не ограничено, финала как такового нет. Зато в игре есть рейтинг, который позволяет сравнивать свои достижения с другими игроками. За донат можно покупать чипы, которые совершенствуют вашего персонажа. Такие чипы можно получить просмотром рекламного ролика, либо внутриигровым путем – выполнением особенных заданий.

В игре можно получить несколько апгрейдов:

  • магнитный манипулятор – позволяет собирать предметы вдалеке от героя;
  • контролер ЭМИ – дезактивирует все ловушки на уровне;
  • квантовый рывок – позволяет телепортировать игрока на некоторое расстояние.

Особенности игры

В игре можно отметить следующие особенности:

  • разнообразие локаций;
  • необходимость следить не только за тем, как, но и куда бежать – иначе можно нарезать круги;
  • большое количество экипировки.

Как установить Vector 2 на ПК

Для того, чтобы играть в любимые игры на компьютере, нужно установить специальный эмулятор BlueStacks. Он предназначен для эмулирования Android-среды на компьютере и позволяет запускать приложения и игры на компьютере. Таким образом, можно будет поиграть в Vector 2 на ПК.

  1. Скачайте эмулятор BlueStacks и установите его. Способ установки такой же, как и для другого ПО – просто выберите место будущего расположения программы и следуйте простым инструкциям на экране.
  2. Запустите PlayMarket или скачайте apk-установщик с нашего сайта. Во втором случае установка будет короче – просто запустите apk через диспетчер файлов и дождитесь окончания установки. Проверьте в настройках галочку у опции «Разрешить установку приложений через Market».
  3. Если вы выбрали способ установки через Market, то вбейте в строку его поиска название интересующей нас игры (Vector 2) и нажмите кнопку «Установить». После окончания установки появится уведомление, и игру можно спокойно запускать и наслаждаться.

Видео-обзор

Похожие игры

  • Vector
  • Плитки фортепиано 2™
  • SWAGFLIP — Паркур безумие
  • Run Fast Run!

Подведем итог

Vector 2 – это интересная аркада, с продуманным игровым миром, сюжетом и игровым процессом. Игроку не предстоит прыгать через препятствия и провалы, ему предстоит преодолевать сложную игровую локацию со множеством ловушек и подвохов. Над прохождением многих мест придется думать, а думать некогда – надо бежать и бежать. По сравнению с первой частью, добавлено множество фишек и механик, так что приложение завлечет вас надолго. Скачивайте игру Вектор 2 на компьютер и помогайте главному герою сбежать из этой ужасной лаборатории.

androidmobile.su

Векторы и операции над векторами

Векторы занимают особое место среди объектов, рассматриваемых в высшей математике, поскольку каждый вектор имеет не только числовое значение - длину, но и физическое и геометрическое - направленность. Вектор, представленный направленным отрезком, идущим от точки A к точке B, обозначается так: .

Вектор - это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в искомой точке.

Все остальные термины - это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка, т.е. отрезка, у которого различают начало и конец.

Если A - начало вектора, а B - его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.

Умножение вектора на число

Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило - правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины искомых векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Итак, искомые векторы равны:

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать - в уроке "Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов".

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн "Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)".

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки "Скалярное произведение векторов" и "Векторное и смешанное произведения векторов".

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть - произвольный вектор (Рис. 5), а и - проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит искомую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец - с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 3. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы -

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим искомую проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 4. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Пример 5. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 6. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

,

т.е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.

2.Вычитание:

или, что то же

,

т.е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

Пример 7. Даны два вектора:

.

Найти .

Решение:

.

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как "точки" некоторого абстрактного "n-мерного пространства", а сами числа - как "координаты" этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

-

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора

на действительное число  называется вектор

т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

т.е. при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются.

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

-

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок "Аналитическая геометрия"

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

function-x.ru

Вектор (математика) - это... Что такое Вектор (математика)?

У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.

Ве́ктор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Пусть  — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть  — некоторая абелева группа с единицей . Если существует операция , такая что для любых и для любых выполняются соотношения:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

тогда называется векторным пространством над полем , элементы V называются векторами, элементы F — скалярами, а указанная операция  — умножением вектора на скаляр.

Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространствеЯвляется частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве взять поле действительных чисел с операциями сложения и умножения. , где  — декартова степень множества R; для операцию «+» зададим следующим образом: , нейтральный элемент: =(0,…,0), обратный элемент: ; операцию умножения на скаляр: . Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства над полем действительных чисел .

n-мерное пространство задается как  — декартова степень множества действительных чисел, точка — как кортеж длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор с началом в точке , заданный свободным вектором с пространственными координатами  — множество точек , удовлетворяющее условию:

Отрезок MN — множество всех точек O(удовлетворяющих условию ), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: , [1](где  — пространственные координаты векторов )

Длина вектора: , [2](где  — пространственные координаты вектора.)

Угол между двумя векторами (где  — пространственные координаты векторов ) определяется через скалярное произведение:, [3]

Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис , то , где  — это поле, над которым определенно линейное пространство .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис и . Причём: . Матрица , полученная из коэффициентов называться матрицей перехода от базиса к базису и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис и в нём представлены вектора , , тогда суммой векторов будет называется следующий вектор: .Пусть есть число , тогда произведением вектора на число будет называться следующий вектор: Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если .

Евклидовы и нормированные пространства

Функция (в другом обозначении ), ставящая любым двум векторам в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. Линейность по первому аргументу:
  2. Эрмитова симметричность: (в случае если векторы определены над полем действительных чисел, то )
  3. Положительная определённость: тогда и только тогда, когда ,

называется скалярным произведением вектора на вектор . Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если .Базис евклидова пространства называется ортогональным, если . Базис называется ортонормированным, если , где  — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:, где  — матрица Грамма.В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если , , то в случае действительного пространства и в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. тогда и только тогда, когда .
  2. .
  3. .

Угол между векторами определяется, как .

Геометрическая интерпретация

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек (или направленный отрезок), одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть векторы и . Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Операция умножения вектора на число вводится следующим образом: пусть есть вектор и число , тогда вектор получается изменением длины вектора в раз. Направление вектора сохраняется, если и меняется, если .

Нулевой вектор — такой, начало которого совпадает с его концом.

Противоположным данному называется вектор, начало которого совпадает с концом данного, а конец с началом данного (то есть такой, сумма которого с данным дает нулевой вектор).

Два геометрических вектора называются ортогональными, если они (как направленные отрезки) перпендикулярны друг другу.

Норма геометрического вектора определяется как длина соответвующего ему отрезка. Чаще всего называется модулем вектора и обозначается как .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или — одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Иными словами, подразумевается, что свободный вектор может быть перенесен (параллельным переносом) как угодно (так, чтобы его начало совпало с любой точкой пространства), однако не перестает от этого быть собой. Скользящий же вектор может так же свободно переноситься только вдоль прямой, на которой он лежит, а фиксированный вообще не может переноситься. То есть его приложение к другой точке не имеет смысла; в частности любые операции, такие как сложение или вычитание, фиксированного вектора с фиксированным вектором, имеющим другое начало («приложенным к другой точке») не определены (не имеют смысла).

  • Важно заметить, что все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами итд) в принципе определены одинаково для всех типов векторов (свободных, скользящих или фиксированных), различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено — или лишено смысла — сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена — или имеет смысл — она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса итп), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Можно дать такие строгие определения:

Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки и такие, что четырёхугольники и  — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник  — параллелограмм.

Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки и , и .

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Операции над векторами

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить несколькими в принципе эквивалентными способами, каждый их которых однако может быть удобнее или естественнее в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов. Так, правило треугольника наиболее простое и геометрически фундаментальное, удобно для сложения любого количества векторов, однако правило параллелограмма более удобно для фиксированных или скользящих векторов, так как не требует переноса второго слагаемого (что в принципе могло бы смущать или запутывать в этих случаях) для построения суммы, то есть удобно для сложения векторов с началом в одной точке, в добавок имея то преимущество, что в нем более очевидно равноправие слагаемых; координатное же определение, являясь простым и удобным, бывает очень полезно для вычислений.

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:

(Могут быть использованы прямоугольные или косоугольные координаты; правило сложения остаются одинаковыми для обоих этих типов координат).

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные векторы. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Вычитание

Операция вычитания из вектора вектора сводится к сложению первого вектора и вектора, противоположного второму:

(Само сложение при этом осуществляется так, как описано в параграфе выше, пользуясь, если это удобно, любым из приведенных там альтернативных способов).

Однако легко видеть, что из правила треугольника можно получить и отдельное геометрическое определение разности. Для этого достаточно посмотреть на чертеж, иллюстрирующий сложение по правилу треугольника и осознать, что разность векторов и на этом чертеже есть вектор Отсюда прямо формулируется правило треугольника для вычитания векторов:

разность двух векторов с общим началом (или перенесенных параллельно так, чтобы начала совпали) есть вектор с началом, совпадающим с концом вычитаемого и концом, совпадающим с концом уменьшаемого.

Это правило также может быть удобным.

Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как

Скалярное произведение любого вектора и какого-то единичного вектора есть проекция (ортогональная проекция) вектора на направление этого единичного вектора:

Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:

(где  — проекция вектора на направление ,  — проекция вектора на направление ).

  • В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.
Векторное произведение
Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
  3. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
Геометрическая интерпретация смешанного произведения.
Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство здесь записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения, часто встречающихся в литературе).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .

То есть абсолютная величина его есть просто объем этого параллелепипеда (в общем случае — косоугольного), а знак определяется тем, представляют ли векторы правую тройку (тогда плюс) или левую (тогда минус). Иногда при использовании левого базиса знак может быть определен противоположным образом.

Базис и разложение по базису
Разложение вектора по трём ортогональным векторам трёхмерного евклидова пространства

Векторы (как направленные отрезки), лежащие на прямых, параллельных одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, лежащие в плоскостях, параллельных одной плоскости — компланарными. Для свободных векторов коллинеарность и компланарность определяется как такие понятия для изображающих их направленных отрезков (то есть представителей соответствующих свободным векторам классов эквивалентности).

Каждый вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум определённым неколлинеарным векторам этой плоскости, а каждый вектор трёхмерного евклидова пространства можно единственным образом разложить по трём определённым некомпланарным векторам. Эти векторы, взятые в определённом порядке называются базисом плоскости (пространства). Сопоставлением каждому вектору данной плоскости (пространства) его коэффициентов в таком его разложении, определяется аффинная система координат на плоскости (в пространстве). Если векторы, по которым производится разложение, ортогональны и единичны, то получаем прямоугольную декартову систему координат на плоскости (в пространстве). Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

Обозначения

Вектор, представленный набором элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:

.

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Вектор как последовательность

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

См. также

Литература

Ссылки

dic.academic.ru

definition of ВЕКТОР МАТЕМАТИКА and synonyms of ВЕКТОР МАТЕМАТИКА (Russian)

  Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.

Вектор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Пусть  — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть  — некоторая абелева группа с единицей . Если существует операция , такая что для любых и для любых выполняются соотношения:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

тогда называется векторным пространством над полем , элементы V называются векторами, элементы F — скалярами, а указанная операция  — умножением вектора на скаляр.

  Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространствеЯвляется частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве взять поле действительных чисел с операциями сложения и умножения. , где  — декартова степень множества R; для операцию «+» зададим следующим образом: , нейтральный элемент: =(0,…,0), обратный элемент: ; операцию умножения на скаляр: . Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства над полем действительных чисел .

n-мерное пространство задается как  — декартова степень множества действительных чисел, точка -как кортеж длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в геометрии(связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор с началом в точке , заданный свободным вектором с пространственными координатами  — множество точек , удовлетворяющее условию:

Отрезок MN  — множество всех точек O(удовлетворяющих условию ), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: , [1](где  — пространственные координаты векторов )

Длина вектора: , [2](где  — пространственные координаты вектора.)

Угол между двумя векторами (где  — пространственные координаты векторов ) определяется через скалярное произведение:, [3]

  Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис , то , где  — это поле, над которым определенно линейное пространство .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис и . Причём: . Матрица , полученная из коэффициентов называться матрицей перехода от базиса а базису и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

  Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис и в нём представлены вектора , , тогда суммой векторов будет называется следующий вектор: .Пусть есть число , тогда произведением вектора на число будет называться следующий вектор: Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если .

  Евклидовы и нормированные пространства

Функция (в другом обозначении ), ставящая любым двум векторам в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. Линейность по первому аргументу:
  2. Эрмитова симметричность: (в случае если векторы определены над полем действительных чисел, то )
  3. Положительная определённость: тогда и только тогда, когда ,

называется скалярным произведением вектора на вектор . Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если .Базис евклидова пространства называется ортогональным, если . Базис называется ортонормированным, если , где  — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:, где  — матрица Грамма.В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если , , то в случае действительного пространства и в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. тогда и только тогда, когда .
  2. .
  3. .

Угол между векторами определяется, как .

  Геометрическая интерпретация

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек (или направленный отрезок), одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть векторы и . Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Операция умножения вектора на число вводится следующим образом: пусть есть вектор и число , тогда вектор получается изменением длины вектора в раз. Направление вектора сохраняется, если и меняется, если .

Нулевой вектор - такой, начало которого совпадает с его концом.

Противоположным данному называется вектор, начало которого совпадает с концом данного, а конец с началом данного (т.е. такой, сумма которого с данным дает нулевой вектор).

Два геометрических вектора называются ортогональными, если они (как направленные отрезки) перпендикулярны друг другу.

Норма геометрического вектора определяется как длина соответвующего ему отрезка. Чаще всего называется модулем вектора и обозначается как .

  Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или - одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Иными словами, подразумевается, что свободный вектор может быть перенесен (параллельным переносом) как угодно (так, чтобы его начало совпало с любой точкой пространства), однако не перестает от этого быть собой. Скользящий же вектор может так же свободно переноситься только вдоль прямой, на которой он лежит, а фиксированный вообще не может переноситься. Т.е. его приложение к другой точке не имеет смысла; в частности любые операции, такие как сложение или вычитание, фиксированного вектора с фиксированным вектором, имеющим другое начало ("приложенным к другой точке") не определены (не имеют смысла).

  • Важно заметить, что все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами итд) в принципе определены одинаково для всех типов векторов (свободных, скользящих или фиксированных), различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено - или лишено смысла - сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена - или имеет смысл - она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса итп), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Можно дать такие строгие определения:

Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки и такие, что четырёхугольники и  — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник  — параллелограмм.

Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки и , и .

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

  Операции над векторами

  Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить несколькими в принципе эквивалентными способами, каждый их которых однако может быть удобнее или естественнее в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов. Так, правило треугольника наиболее простое и геометрически фундаментальное, удобно для сложения любого количества векторов, однако правило параллелограмма более удобно для фиксированных или скользящих векторов, т.к. не требует переноса второго слагаемого (что в принципе могло бы смущать или запутывать в этих случаях) для построения суммы, т.е. удобно для сложения векторов с началом в одной точке, в добавок имея то преимущество, что в нем более очевидно равноправие слагаемых; координатное же определение, являясь простым и удобным, бывает очень полезно для вычислений.

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго итд, сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (т.е. изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:

(Могут быть использованы прямоугольные или косоугольные координаты; правило сложения остаются одинаковыми для обоих этих типов координат).

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные векторы. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

  Вычитание

Операция вычитания из вектора ветора сводится к сложению первого вектора и вектора, противоположного второму:

(Само сложение при этом осуществляется так, как описано в параграфе выше, пользуясь, если это удобно, любым из приведенных там альтернативных способов).

Однако легко видеть, что из правила треугольника можно получить и отдельное геометрическое определение разности. Для этого достаточно посмотреть на чертеж, иллюстрирующий сложение по правилу треугольника и осознать, что разность векторов и на этом чертеже есть вектор Отсюда прямо формулируется правило треугольника для вычитания векторов:

разность двух векторов с общим началом (или перенесенных параллельно так, чтобы начала совпали) есть вектор с началом, совпадающим с концом вычитаемого и концом, совпадающим с концом уменьшеаемого.

Это правило также может быть удобным.

  Скалярное произведение

  Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как

Скалярное произведение любого вектора и какого-то единичного вектора есть проекция (ортогональная проекция) вектора на направление этого единичного вектора:

Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:

(где  — проекция вектора на направление ,  — проекция вектора на направление ).

  • В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.
  Векторное произведение

  Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
  3. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

  Геометрическая интерпретация смешанного произведения.

  Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство здесь записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения, часто встречающихся в литературе).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .

То есть абсолютная величина его есть просто объем этого параллелепипеда (в общем случае - косоугольного), а знак определяется тем, представляют ли векторы правую тройку (тогда плюс) или левую (тогда минус). Иногда при использовании левого базиса знак может быть определен противоположным образом.

  Базис и разложение по базису

  Разложение вектора по трём ортогональным векторам трёхмерного евклидова пространства

Векторы (как направленные отрезки), лежащие на прямых, параллельных одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, лежащие в плоскостях, параллельных одной плоскости — компланарными. Для свободных векторов коллинеарность и компланарность определяется как такие понятия для изображающих их направленных отрезков (то есть представителей соответствующих свободным векторам классов эквивалентности).

Каждый вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум определённым неколлинеарным векторам этой плоскости, а каждый вектор трёхмерного евклидова пространства можно единственным образом разложить по трём определённым некомпланарным векторам. Эти векторы, взятые в определённом порядке называются базисом плоскости (пространства). Сопоставлением каждому вектору данной плоскости (пространства) его коэффициентов в таком его разложении, определяется аффинная система координат на плоскости (в пространстве). Если векторы, по которым производится разложение, ортогональны и единичны, то получаем прямоугольную декартову систему координат на плоскости (в пространстве). Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

  Обозначения

Вектор, представленный набором элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:

.

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

  Вектор как последовательность

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

  История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

  См. также

  Литература

  Ссылки

   

dictionary.sensagent.com

4

4

4. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен к плоскости построенного на них параллелограмма) и направлен в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от к вокруг полученного вектора представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (рис. 40).

Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору. Из этого определения следует, что

|| = || | | sin,

где - угол между векторами и (0 ). Векторное произведение векторов и обозначается символом

х или [] или [, ].

Выясним физический смысл векторного произведения. Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор идет из некоторой точки О в точку М, то вектор =[] представляет собой момент силы относительно точки О.

Свойства векторного произведения

1 . При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

х = -( x ).

2.

()х = х()=(х ), где - скаляр.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

(+) x =x + x.

4. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору:

х =0

( х еще называют векторным квадратом вектора .

Скалярное произведение двух векторов | Скалярное произведение двух векторов в координатной форме | Направляющие косинусы вектора |

Векторное произведение двех векторов и его основные свойства |   Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства |

Главная

diana-davletova2011.narod.ru


Смотрите также